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Elektrostatische Felder

Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden (statischen) Ladungen. Die Kraftwirkung zwischen Ladungen wird durch elektrische Felder beschrieben.

17.1 Elektrische Ladung

In der Mechanik gibt es die drei unabhängigen Grundgrößen Masse, Länge und Zeit mit den Einheiten Kilogramm, Meter und Sekunde. Alle anderen Größen wie z. B. Geschwindigkeit oder Kraft werden aus diesen Größen abgeleitet (siehe Abschn. 1.2). In der Elektrodynamik wird eine weitere, vierte Grundgröße benötigt: Die elektrische Ladung mit der Einheit Coulomb oder aber die Stromstärke mit der Einheit Ampere. Die kleinste Ladungsmenge (außerhalb der Elementarteilchenphysik) ist die sog. Elementarladung e0. Protonen haben die Ladung  e0, Elektronen die Ladung − e0.1

Nach einem Beschluss der 26sten Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat die Elementarladung (Protonenladung e0 ) seit dem 20.Mai.2020 den fest fixierten und zukünftig unveränderlichen Wert

Ich betone nochmals: Zukünftig hat die Elementarladung einen exakt vereinbarten Wert und keine Unsicherheit. Die Festlegung der Elementarladung definiert auch die Ladungseinheit Coulomb universell und unveränderlich. Eine Ladung der Größe −1C enthält 1019 /1,602 176 6>C Elektronen.

Fließende Ladungen erzeugen elektrische Ströme. Die mittlere Stromstärke wird definiert als

Damit ist die Einheit Ampere (abgekürzt ‘A’) der Stromstärke wie folgt festgelegt:

Die momentane Stromstärke ist die mittlere Stromstärke im Grenzübergang Δt → 0 :

Dabei ist Q(t) die Ladung, die bis zur Zeit t geflossen ist. Die Stromstärke wird also mit der Elementarladung e0 definiert. Bei einer Stromstärke von 1A fließen an einer festen Stelle des Leiters pro Sekunde etwa 1/(1,602 · 10−19) ≈ 6,25 · 1018 Elektronen vorbei.

Bemerkung: Auch in der Mechanik werden die momentanen Größen Geschwindigkeit v(t), Beschleunigung a(t) und Leistung P(t) durch den Grenzübergang Δt → 0 aus mittleren Größen abgeleitet.

Experimentell wurden folgende Aussagen für elektrische Ladungen gefunden:

• Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Willkürlich wurde das Vorzeichen der Elektronenladung als negativ festgesetzt. Ladungen mit gleichem (verschiedenen) Vorzeichen stoßen sich ab (ziehen sich an). Im Gegensatz zur Gravitationskraft, die nur anziehend ist, gibt es hier also anziehende und abstoßende Kräfte.
• Ein Elektron hat die Ladung −e0, ein Proton die Ladung e0. Alle Ladungen Q sind stets ganzzahlige Vielfache der Elementarladung:
• In abgeschlossenen Systemen, d. h. in Systemen, denen weder Ladungen zugeführt noch entzogen werden, ist die Summe aller Ladungen konstant:

  Der Ladungserhaltungssatz ist vor allem in der Elementarteilchenphysik wichtig.

17.2 Die Coulombkraft

Die elektrische Ladung eines Körpers wird durch die Kräfte nachgewiesen, die andere geladene Körper auf ihn ausüben.2 Wir betrachten in Abb. 17.2–1 zwei Ladungen Q0, Q1 mit den Ortsvektoren r0, r1. Die Ladungen seien punktförmig, d. h. ihre Ausdehnungen seien viel kleiner als ihr Abstand. In Experimenten ermittelte der französische Physiker Charles A. Coulomb gegen Ende des 18ten Jahrhunderts, dass die elektrostatische Kraft zwischen ruhenden Ladungen

• proportional zum Produkt Q0 Q1 der beiden Ladungen ist.
• indirekt proportional zum Quadrat (r0 − r1)2 des Abstandes ist.
• parallel zur Verbindungslinie der beiden Ladungen ist.

1785 stellte Coulomb das Coulombsche Gesetz auf; es beschreibt die Coulombkraft, die die Ladung Q1 auf die Ladung Q0 ausübt:

Abb. 17.2–1 Die Coulombkraft zwischen beiden Ladungen ist proportional zum Produkt Q0 Q1 der Ladungen und indirekt proportional zum Quadrat der Entfernung.

Für spätere Rechnungen ist es vorteilhaft, die Konstante k in der Form k = 1/(C πɛ0) zu schreiben. Dann lautet die Coulombkraft der Punktladung Q1 auf die Punktladung Q03:

ɛ0 heißt elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante des Vakuums oder Influenzkonstante und hat nach den Experimenten den Wert4

In der Quantenmechanik beschreiben die Coulombkräfte die Bindung der Elektronen an den Atomkern, die Wechselwirkung zwischen Atomen und Molekülen und schließlich auch die zwischenatomaren Kräfte in Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen.

Das Coulombgesetz (17.2–1) hat die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz, das die Anziehungskraft zwischen zwei Massen beschreibt:

Der einzige Unterschied besteht darin, dass es nur positive Massen und anziehende Gravitationskräfte gibt.

Da Coulombkräfte und Gravitationskräfte beide indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, hängt ihr Verhältnis nicht vom Abstand ab. Das Verhältnis der beiden Kräfte ist für Protonen mit mP = 1,67 · 10−27 kg

Übrigens: Atomkerne sind trotz der abstoßenden Coulombkräfte zwischen den Protonen stabil, weil Protonen und Neutronen durch die „Starke Wechselwirkung“ zusammengehalten werden, auf die ich nicht weiter eingehe.

Beispiel 17.2–1 Pendel im Gleichgewicht

Zwei kleine Metallkugeln mit Masse m und Ladung Q hängen an Fäden der Länge l im selben Punkt an der Decke (siehe Abb. 17.2–2).

Berechne die Entfernung d der Kugeln im Gleichgewicht für d<< l.

Abb. 17.2–2 Die Coulombkraft drückt die Pendel auseinander.

Lösung:

Wir betrachten die rechte Kugel in Abb. 17.2–3. Auf die Kugel wirken die Gewichtskraft mg und die Coulombkraft FC. Das rechte Pendel ist genau dann im Gleichgewicht, wenn sein Faden parallel ist zur resultierenden Kraft mg + FC, also für

Abb. 17.2–3 Auf die Pendelmasse wirken die Gewichtskraft m g und die Coulombkraft FC.

17.3 Das elektrische Feld

Das Coulombgesetz kann leicht auf mehrere ruhende Ladungen verallgemeinert werden (siehe Abb. 17.3–1): n Punktladungen Qi mit den Ortsvektoren ri (und auch n kugelsymmetrische Ladungsverteilungen mit den Ortsvektoren ri ihrer Ladungsmittelpunkte) üben insgesamt auf eine Punktladung q an der Stelle r die Kraft

aus. Die gesamte Coulombkraft ist also einfach die Vektorsumme der n einzelnen Coulombkräfte; es gilt das Superpositionsprinzip.

Abb. 17.3–1 Die gesamte Kraft aller Punktladungen Qi auf die Ladung q ist die Vektorsumme der n Einzelkräfte der i-ten Ladung auf die Ladung q.

Die Kraft F ist proportional zur Probeladung q und kann wie folgt geschrieben werden:

Diese Gl. definiert eine neue physikalische Größe, das elektrische Feld E(r).

n Ladungen Qi mit Ortsvektoren ri erzeugen am Ort r das elektrische Feld:

Nach dieser Definition ist das elektrische Feld am Ort r die Kraft auf eine Probeladung q, die sich am Ort r befindet, dividiert durch q.

Die Einheit des elektrischen Feldes5 ist N/C. Mit der später eingeführten Einheit ‘Volt’ (der Spannung) lautet die Einheit V /m :

Das elektrische Feld, das die Ladungen Qi erzeugen, ist unabhängig von der Probeladung q und hängt nur von der Verteilung und der Größe der Ladungen Qi ab. Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich die elektrischen Felder mehrerer Ladungen linear. Das elektrische Feld einer positiven (negativen) Punktladung zeigt radial nach außen (innen).

Nach Gl. (17.3–5) lassen sich elektrische Felder durch Kräfte auf Probeladungen messen.

Dabei muss die Probeladung q so klein sein, dass sie die Verteilung der Ladungen Qi, d. h. die Ortsvektoren ri durch rückwirkende Kräfte nicht (wesentlich) ändert. Andernfalls würde sich das zu messende Feld E(r) bei der Messung ändern.

Beispiel 17.3–1 Feldstärke im Fernfeld eines Dipols

Ein Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen mit dem Abstand 2 d. Betrachte...