Formelsammlung der Matrizenrechnung

Christian Voigt beschäftigt sich seit Jahrzehnten professionell mit dem Management komplexer IT-Umgebungen. Er hat zusammen mit Kornel Terplan in den letzten 25 Jahren viele Industrieprojekte abgewickelt, Fachartikel, Fachvorträge und Fachbücher gemeinsam verfasst und Seminare entwickelt und präsentiert.

1;Vorwort;62;Inhaltsverzeichnis;83;Notation;164;1 Grundlagen;224.1;1.1 Grundlagen der Matrizenrechnung;224.1.1;1.1.1 Definition einer Matrix;224.1.2;1.1.2 Relationen;224.1.3;1.1.3 Nullmatrix;234.1.4;1.1.4 Einheitsmatrix;234.1.5;1.1.5 Standardmatrix;234.1.6;1.1.6 Nichtnegative Matrix;234.1.7;1.1.7 Transponierte Matrix;234.2;1.2 Matrixoperatoren;244.2.1;1.2.1 Matrixaddition;244.2.2;1.2.2 Matrixmultiplikation;244.2.3;1.2.3 Skalarmultiplikation;254.2.4;1.2.4 Potenz;264.2.5;1.2.5 Kronecker-Produkt;264.2.6;1.2.6 Kronecker-Summe;274.2.7;1.2.7 Elementweise Multiplikation;284.3;1.3 Vektoren;284.3.1;1.3.1 Skalarprodukt;284.3.2;1.3.2 Dyadisches Produkt;294.3.3;1.3.3 Kreuzprodukt;294.3.4;1.3.4 Spatprodukt;304.3.5;1.3.5 Verallgemeinertes Kreuzprodukt;304.4;1.4 Definitionen;314.4.1;1.4.1 Spur;314.4.2;1.4.2 Bild;324.4.3;1.4.3 Kern;324.4.4;1.4.4 Kofaktor;324.4.5;1.4.5 Adjungierte Matrix;324.4.6;1.4.6 Untermatrix;334.4.7;1.4.7 Vec-Operator;334.4.8;1.4.8 Diagonale;344.4.9;1.4.9 Diagonaloperator;345;2 Determinanten;365.1;2.1 Definition der Determinante;365.1.1;2.1.1 Unterdeterminanten;365.1.2;2.1.2 Minor;365.1.3;2.1.3 Formale Determinante;365.2;2.2 Berechnung;375.2.1;2.2.1 2 × 2-Matrizen;375.2.2;2.2.2 3 × 3-Matrizen Regel von Sarrus;375.2.3;2.2.3 n × n-Matrizen Laplace scher Entwicklungssatz;385.2.4;2.2.4 Rechenregeln;385.3;2.3 Hadamard-Ungleichung;396;3 Lösen linearer Gleichungssysteme;406.1;3.1 Gleichungssysteme mit Matrizen;406.1.1;3.1.1 Lineares Gleichungssystem (LGS);406.1.2;3.1.2 Lineare Unabhängigkeit;406.1.3;3.1.3 Rang;416.1.4;3.1.4 Regularität;416.1.5;3.1.5 Singularität;416.2;3.2 Lösbarkeit;416.2.1;3.2.1 Eindeutige Lösbarkeit;426.2.2;3.2.2 Überbestimmtes Gleichungssystem;426.2.3;3.2.3 Unterbestimmtes Gleichungssystem;426.2.4;3.2.4 Homogene und inhomogene Lösung;426.3;3.3 Die inverse Matrix;426.3.1;3.3.1 Definition;426.3.2;3.3.2 Lösen eines LGS mit der inversen Matrix;436.3.3;3.3.3 Berechnung;436.3.4;3.3.4 Rechenregeln;436.4;3.4 Pseudoinverse;446.4.1;3.4.1 Definition;446.4.2;3.4.2 Lösen eines LGS mit der Pseudoinversen;446.4.3;3.4.3 Berechnung;446.4.4;3.4.4 Rechenregeln;456.5;3.5 Cramer sche Regel;456.6;3.6 Gauß scher Algorithmus;456.6.1;3.6.1 Elementare Zeilenumformungen;466.6.2;3.6.2 Pivotelement;466.6.3;3.6.3 Stufenformen;466.6.4;3.6.4 Gauß sches Eliminationsverfahren;476.6.5;3.6.5 Bestimmung des Ranges einer Matrix;486.6.6;3.6.6 Lösen eines LGS;486.6.7;3.6.7 Bestimmung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus);496.6.8;3.6.8 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotsuche;496.7;3.7 Lösung von LGS mittels Zerlegungen;496.7.1;3.7.1 LR-Zerlegung;496.7.2;3.7.2 Cholesky-Zerlegung;506.7.3;3.7.3 QR-Zerlegung;507;4 Eigenwerte und Eigenvektoren;527.1;4.1 Eigenwertproblem;527.2;4.2 Spektrum;527.3;4.3 Spektralradius;527.4;4.4 Charakteristisches Polynom;537.5;4.5 Minimalpolynom;537.6;4.6 Vielfachheit;547.6.1;4.6.1 Algebraische Vielfachheit;547.6.2;4.6.2 Geometrische Vielfachheit;547.6.3;4.6.3 Eigenschaften;547.7;4.7 Berechnung;557.7.1;4.7.1 Matrizen n-ter Ordnung;557.7.2;4.7.2 Matrix 2. Ordnung;557.7.3;4.7.3 Matrix 3. Ordnung;557.7.4;4.7.4 Komplexe Matrizen;567.7.5;4.7.5 Rechenregeln;567.7.6;4.7.6 Iterative Berechnung des charakteristischen Polynoms;577.8;4.8 Hauptvektoren;577.8.1;4.8.1 Definition;577.8.2;4.8.2 Berechnung;577.9;4.9 Allgemeines Eigenwertproblem;587.9.1;4.9.1 Lösen des allgemeinen Eigenwertproblems;587.10;4.10 Rayleigh-Quotient;587.11;4.11 Cayley-Hamilton-Theorem;597.11.1;4.11.1 Definition;597.11.2;4.11.2 Folgerungen;597.11.3;4.11.3 Anwendung;607.12;4.12 Singulärwertzerlegung;607.12.1;4.12.1 Singulärwerte und Singulärvektoren;617.12.2;4.12.2 Berechnung;627.12.3;4.12.3 Rechenregeln;638;5 Differentiation;648.1;5.1 Gradient;648.2;5.2 Hesse-Matrix;648.3;5.3 Jacobi-Matrix;648.4;5.4 Differential

"Hier werden in konzentrierter Darstellung die wichtigsten Definitionen und Anwendungen beschrieben. Der Verzicht auf Beweise und Herleitungen trägt sehr zur klaren Darstellung bei. Durch die kompakte Gestaltung eignet sich das Buch hervorragend als Nachschlagewerk für das Studium und für die tägliche Arbeit als Ingenieur." Dr. Karl Friedrich Schäfer, Bergische Universität Wuppertal "Kompakte Formelsammlung mit sehr hohem Anspruchswert für Ingenieure. Sehr empfehlenswert." Prof. Dr.-Ing. A. Potchinkov, TU Kaiserslautern

11 Anwendungen (S. 125)In diesem Kapitel werden beispielhaft einige Anwendungen der Matrizentheorie vorgestellt, um zu demonstrieren, wie vielseitig deren Anwendungsgebiet ist. Die Beispiele stammen aus den Ingenieurwissenschaften und der Informatik, stellen aber nur eine kleine Teilmenge der möglichen Anwendungsfelder der Matrizentheorie dar. Denn die Matrizenrechnung wird nicht nur in den klassischen Ingenieurwissenschaften und der Informatik verwendet.Weitere Anwendungsfelder sind die Biologie, die Volkswirtschaftslehre, die Betriebswirtschaftslehre, die Chemie, die Physik, die Medizin und die Soziologie. Es sollte betont werden, dass die hier vorgestellten Anwendungen nur kurz umrissen werden können. Dabei liegt der Schwerpunkt verständlicherweise auf der Matrizenrechnung. Nähere Betrachtungen der zugrunde liegenden Theorie sind der jeweiligen Fachliteratur zu entnehmen.11.1 RobotikIn der Robotik wird die Matrizentheorie oft benötigt, insbesondere die Theorie der räumlichen Transformationen. In diesem Abschnitt werden beispielhaft so genannte Industrieroboter (siehe Abbildung 11.1), die autonom Objekte im Raum manipulieren sollen, betrachtet. Wichtigstes Ziel ist die Modellierung der Kinematik des Industrieroboters. Ferngesteuerte Industrieroboter bezeichnet man als Manipulatoren. Wenn man einen Roboterarm modellieren und programmieren möchte, tauchen zwei Fragen auf: Wenn alle Gelenkstellungen bekannt sind, wo befindet sich der Endeffektor (also die " Hand" des Roboterarms) im Raum?Dies wird mit der so genannten Vorwärtskinematik oder direkten Kinematik berechnet. Die zweite, unmittelbar folgende Frage ist, wie müssen die Gelenkstellungen eingestellt werden, um den Endeffektor des Manipulators an einen gewünschten Punkt im Raum mit einer vorgegebenen Orientierung zu bringen? Diese Fragestellung wird mit der so genannten Rückwärtskinematik, auch inverse Kinematik genannt, beantwortet.Gelenke und ManipulatorenEin Roboterarm besteht meist aus mehreren hintereinander geschalteten Gliedern, die durch zwei Gelenktypen miteinander verbunden sind. Die zwei üblichen Arten von Gelenken, die bei Industrierobotern Verwendung finden, sind Drehgelenke und Schubgelenke. Jedes Gelenk hat einen Bewegungsfreiheitsgrad. Ein Manipulator mit n Gelenken (siehe Abbildung 11.2), die von der Basis (also der Verankerung des Roboters) ausgehend, mit 1 bis n durchnummeriertwerden, besteht aus n+1 Gliedern, die ihrerseits von 0 bis n nummeriert werden. Glied 0 ist die Basis des Manipulators, welche meist fixiert ist, Glied n trägt den Endeffektor. Das Gelenk i verbindet die Glieder i - 1 und i.Zur Beschreibung der Positionen der einzelnen Glieder wird für jedes Glied i ein lokales Koordinatensystem S i definiert. Die am meisten verbreitete Methode zur systematischen Zuweisung von Koordinatensystem zu den einzelnen Gliedern geht auf Denavit und Hartenberg zurück. Außerdem wird die Nullstellung der Gelenke definiert, um die Gelenkstellungen der Dreh- und Schubgelenke als Drehwinkel .i bzw. Translationen di bezüglich der definierten Nullstellung angeben zu können.VorwärtskinematikDie Modellierung der Vorwärtskinematik kann nun mit Hilfe von Koordinatentransformationen gelöst werden. Gegeben sind die Gelenkstellungen .i bzw. di des Manipulators. Ziel ist es, die von den Gelenkstellungen abhängige Position des Endeffektors bezüglich des Basiskoordinatensystems zu berechnen. Dies wird durch n Koordinatentransformationen bewerkstelligt: Ein Punkt bezüglich des Endeffektor-Koordinatensystems S n wird durch n homogene Transformationsmatrizen 0T1, . . . , n.1Tn in jene des Basiskoordinatensystems S 0 transfor